Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і нерівності, Детальна інформація

Реферат

Н а Т Е М У:

“Обернені тригонометричні функції.

Тригонометричні рівняння і нерівності”

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

ПЛАН

Обернені тригонометричні функції

Тригонометричні рівняння

Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

. У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відображення підмножини D множини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

, на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].

, D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

.

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:



Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо



Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х)) = -х,

sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.

і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,

arcsin (-х) = -arcsin x.

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.

Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:

sin 65°00';

1,1345 рад;

1,1345,