Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена., Детальна інформація

2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

(41)

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f\x00B4(х), f\x02DD(х), ...., fп(х), ...;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) \x2192 0 при п \x2192 \x221E.

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:



Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

(42)

(43)

(44)



(45)

(46)

††\x3428\x2937\x0D0D–\x4D45\x4542\x2044\x7145\x6175\x6974\x6E6F\x332E†\x0114\x2015††††††††††††\x2820\x3834\x0D29

Доведемо формули (42) – (48).

Нехай f (x)=ex. Маємо:



отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– \x221E;+ \x221E);



(—\x221E; + \x221E), а отже, і на всьому інтервалі (—\x221E; + \x221E). Формулу (42) доведено.

Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

);

);

);

……………………………..

N;