Реферат:
Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
Множити на число
Додавати матриці однакових розмірів:
Множити матриці:
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.
.
Беспосередньо можна первірити, що для
такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню (.
. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
|
Скачати "Реферат на тему Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку"
