Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали., Детальна інформація

Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається за формулою



- множиною значень функції f.

D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається множина точок



яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.



Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.

, розглянемо границю

.



Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:



Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

, називається різниця



Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді



.

називається вираз



.

Для диференціала du правильна формула



Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:



: d2u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d3u = d(d2u). Взагалі, dku = d(dk-1 u).