Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів, Детальна інформація

Невласні інтеграли

Поняття та різновиди невласних інтегралів

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;

2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто b = \x221E або а = \x221E або а = -\x221E та b = \x221E, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +\x221E) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — \x221E < a < b < +\x221E. Тоді, якщо існує скінченна границя

(51)

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(52)

Таким чином, за означенням

(53)

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +\x221E).

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +\x221E).

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-\x221E; b]:

(54)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(55)

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +\x221E) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).

рис. 7.12

Приклад.

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:





а) За формулою (53) маємо