Рівняння в повних диференціалах, Детальна інформація

Рівняння в повних диференціалах

Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння



, тобто

,

то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз



є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності



Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді







Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд



Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

,

. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла



В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

.

Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння



така, що рівняння