Модальні групи (структурні властивості), Детальна інформація

Реферат на тему:

Модальні групи

(структурні властивості)

Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток (. Клас всіх таких груп позначимо (((). Зрозуміло, що клас ((() замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп ((() називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку.

Відображення (: ( ( ((() є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм ( не є ізоморфізмом.

Фундаментальні результати для класа модулярних груп ((М), класа дистрибутивних груп ((D) та ін. викладено в монографії [5].

Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G ( ((Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:

,

де і, j = 1,…, n; причому і ( j. Якщо l < m, то очевидно ((Ul) ( ((Um). Зрозуміло також, що ((U2) = ((D).

Опис класів ((U3) і ((U4) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда ((U5).

1. Опис групоїда ((U3).

Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову:

G – локально циклічна група;

G ( {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку;

G = A ( B*, де А ( {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.

Із цього результату, зокрема, випливає включення ((U3) ( ((M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1.

2. Опис групоїда ((U4).

Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n.

, порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.

Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:

G – локально циклічна група;

G ( {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку;

G = В ( С ( K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1.

Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x2, y2] = 1.

Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2] = 1, дається наступним твердженням.

Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = Q ( C ( K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами.

Групу S3(m) виду:

>,