Частинні похідні і диференціали вищих порядків, Детальна інформація

Пошукова робота на тему:

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

План

Частинні похідні вищих порядків

Теорема про рівність змішаних похідних

Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

;

;

;

.

. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

.

Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

.

. Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

 і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

 цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

.

.