Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів, Детальна інформація

Пошукова робота на тему:

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

План

Умовний екстремум

Необхідні умови

Метод множників Лагранжа

Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів

1. Умовний екстремум

            У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції



за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку

.

.

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції

                                             (6.89)

при

                                            (6.90)

, яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.

.

Отже, в точках екстремуму

.                             (6.91)

Із рівності (6.90) маємо

                               (6.92)

 і додамо її з рівністю (6.91), одержимо

.

або

                       (6.93)

 друга дужка у рівності

.

            Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння: