Методи інтегрування, Детальна інформація

Методи інтегрування

Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл \x222Bsin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу

\x222Bsin udu=- cos +С

Заданий невизначений інтеграл \x222Bf(x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних інтегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли



Розв’язування.



У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;



У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник 1/2



У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (– 7).

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла \x222Bf(x)dx зробити підстановку x = \x03C6(t), тоді має місце рівність



Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - \x03C6 (t) мала обернену t = \x03C8(х).

Приклад. Знайти інтеграл



Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді



Отже, одержимо

2